Λοιπόν, τις προάλλες μου εθέσαν ένα ενδιαφέρον πρόβλημα, το οποίο άκουσε ένας φίλος μου από έναν γνωστό του που πήγε για interviews σε κάποια χρηματιστηριακή στη ΝΥ. Το ερώτημα είναι το εξής:
Έχουμε μια περιοχή κυκλική, με ακτίνα ένα. Ξέρουμε ότι στην περιοχή υπάρχει και μια ευθεία, υπόγεια, απείρου μήκους σωλήνα, σε συγκεκριμένο βάθος. Ξέρουμε πως η σωλήνα “περνάει” από την κυκλική περιοχή, αλλά δεν ξέρουμε τίποτα άλλο, όπως τη κατεύθυνση της, αν απλά τέμνει τον κύκλο ή αν τον διαπερνά, κτλ. Θέλουμε ένα σχέδιο για σκάψιμο το οποίο αν ακολουθήσουμε α) θα είναι σίγουρο ότι θα πετύχουμε τη σωλήνα, β) περιλαμβάνει όσο το δυνατό λιγότερο σκάψιμο. Αν σκάψουμε τη περιφέρεια του κύκλου, πχ, θα πετύχουμε σίγουρα τη σωλήνα, μα υπάρχουν άλλοι τρόποι που περιλαμβάνουν λιγότερο σκάψιμο.
Ενδιαφέρον προβληματάκι. Αυτός ο φίλος μου που μου το είπε λέει ότι γενικά κυκλοφορεί, και δεν έχει αποδείξει κανείς την “τέλεια” λύση. Η καλύτερη λύση που βρήκαμε θέλει (με r=1) σκάψιμο μήκους 4.985. Φωτογραφία της λύσης μας ακολουθεί.
Ερμ… Ο σωλήνας και ο κύκλος είναι προφανώς σε παράλληλα επίπεδα έτσι? Και όταν μιλάς για ευθεία, σημαίνει ότι ο σωλήνας έχει φάρδος σημείου, ε?
Γενικά σκέψου ότι βλέπεις κάτοψη. Αν προσπαθήσεις να βρεις τη λύση ζωγραφίζοντας, ας πούμε, θα έχεις ένα κύκλο (η περιοχή απ’ όπου ξέρεις ότι θα περάσει η γραμμή), και κάπου θα υπάρχει μια γραμμή. Όλα είναι θεωρητικά, οπότε η γραμμή/σωλήνας δεν έχει πάχος, είναι τέλεια ευθεία, και το σκάψιμο είναι ουσιαστικά να ζωγραφίσεις πάνω στο επίπεδο.
Δεν καταλαβαίνω τίποτα από όλα αυτά παιδιά!!! :oD
Χμμ… ας το θέσουμε έτσι λοιπόν.
Έχουμε μια κόλλα χαρτί. Στο κέντρο του χαρτιού είναι ζωγραφισμένος ένας κύκλος με ακτίνα 1. Θα παίξουμε το εξής παιχνίδι. Ο πρώτος παίκτης (αυτός που πάει να λύσει το γρίφο) θα ζωγραφίσει ότι θέλει πάνω στο χαρτί. Ο δεύτερος παίκτης θα ζωγραφίσει μια ευθεία γραμμή, η οποία πρέπει να ακουμπάει τον κύκλο, αλλά να μην ακουμπάει τίποτα που έχει ζωγραφίσει ο πρώτος παίκτης. Ο πρώτος παίκτης θέλει να νικήσει (να μη μπορέσει ο 2 να ζωγραφίσει τη γραμμή του περνόντας από τον κύκλο μα μην ακουμπώντας τη ζωγραφιά του 1), μα θέλει επίσης να το κάνει ξοδεύοντας το λιγότερο δυνατόν μελάνι. Τι πρέπει να ζωγραφίσει και πόσο μήκος θα έχει αυτό;
Με το scaling του ότι ο κύκλος έχει ακτίνα 1, η καλύτερα λύση που έχουμε βρει είναι 4.985, ενώ η προφανής λύση (ο ίδιος ο κύκλος) έχει 6.28.
Βρήκα το ίδιο (2 + τρ(2) +π/2). Μάλλον απίθανο να υπάρχει μικρότερη λύση…
Μου πήρε γύρω στα 10 λεπτά που υποθέτω πως είναι πολύ χρόνος για συνέντευξη. Κάτω μάλλον και από την πίεση της συνέντευξης θα μου έπαιρνε περισσότερο χρόνο. Μάλλον δε θα με προσλάμβαναν ;-)
Πωπω…. προτιμώ να πάω να τα σκάσω στην ΕΥΔΑΠ και να μου πει που σκατα περνάει ο σωλήνας και να σκάψω κατ’ευθείαν εκεί…
Και αλήθεια… Γιατι θέλω να σκάψω πάνω στον σωλήνα? Θέλω να τον σπάσω? Κωστή… για ποιον δουλεύεις? Ιρακινούς τρομοκράτες που θέλουν να πλήξουν τους σωλήνες με το πετρέλαιο?
Χεχεχε… ναι και θα σας το πάρουμε όλο το πετρέλαιο!
Που λες Ανδρέα, δε νομίζω να ήταν τόσο απαιτητικοί στο interview. Μάλλον και μόνο το βασικό Π σχήμα να τους έλεγες, δε θα ‘ταν άσχημο. Με το (π+2) λογικά θα ήταν πολύ ευχαριστημένοι. Άσε που σε τέτοια interview σου κάνουν ΠΟΛΛΕΣ τέτοιες ερωτήσεις. Οπότε γενικά και να μην βγάλεις μια δε τρέχει τίποτα.
Πάντος έχεις δίκιο Δημήτρη (βαριέμαι να αλλάζω σε Αγγλικά να γράψω Άζραϊ). Γιατί να θέλει κάποιος να σκάψει πάνω στον σολήνα? Άν είχε σπάσει ο σωλήνας και έπρεπε να διορθωθεί εντάξει, αλλά τότε θα έπρεπε να σκάψεις στα σωστά σημεία και όχι όπου τον βρείς. Ωραίο αίνιγμα, χαζό παράδειγμα… :D
Πολύ καλή άσκηση. Δεν θα το έβρισκα ποτέ. Πιστεύω κι εγώ ότι υπο πίεση interview η απάντηση με το βασικό Π σχήμα είναι αρκετή.
Το σκάψιμο θα πρέπει να είναι συνεχές; Ή μπορεί να είναι τμηματικό;
Πάντως εγώ ακόμα δεν ξέρω πως βγάλατε αυτό το 4.9… Και επίσης, βασικά, αν ο σωλήνας είναι εφαπτομένη του κύκλου, τότε δεν μπορείς να κάνεις τίποτε…. οπότε, πρέπει να διορθωθεί λίγο η εκφώνηση και να ξεκαθαριστεί ότι η ευθεία είναι χορδή του κύκλου (ή διάμετρος)
Γενικά είναι δύσκολο να περιγραφεί χωρίς σχήμα αυτό το πρόβλημα, αλλα θα προσπαθήσω και εγώ:
Δίνεται ένα άπειρο επίπεδο και ένα σημείο Κ. Γνωρίζουμε πως υπάρχει άγνωστη ευθεία (απείρο μήκος) που έχει απόσταση απο το Κ μικροτερη ή ίση με 1. Σκοπός είναι να βρούμε μια καμπύλη στο επίπεδο (που μπορεί να βγαίνει και -εκτός- κύκλου, μπορεί να μην είναι συνεχής) που να τέμνει την άγνωστη ευθεία.
Ψάχνουμε την καμπύλη με το ελάχιστο μήκος.
(Οπότε η ευθεία μπορει να έιναι και εφαπτόμενη στον κύκλο.) Μια cute λύση είναι μισή περιφέρεια κύκλου και τα δυο άκρα της περιφέρειας να επεκτείνονται ίσια για μήκος ένα. (Σαν U) Αυτό κοστίζει π (η μισή περιφέρεια) + 2 (οι δυο επεκτάσεις)= 5.14
Κάτι καλύτερο?
Χμ, τώρα που κάθισα βρήκα λύση στο ~4,874… είναι δυνατόν; Αλλά σε δύο μη συνδεδεμένα τμήματα… Πρέπει να το τσεκάρω σπίτι όμως γιατί το έχω υπολογίσει υπό συνθήκες πανικού στο γραφείο… Θα στείλω την λύση μόλις μπορέσω μπας και βρείτε κάποιο λάθος…!
Τα τμήματα (ευθείες, καμπύλες, χορεύτριες, ότι θες ζωγραφίζεις) δε χρειάζεται να είναι συνεχή, αλλά μάλλον θα είναι. Τι εννοώ: μπορεί να έχεις πολλά τμήματα, αλλά το κάθε τμήμα θα είναι συνεχές, αφού η γραμμή δεν έχει πάχος. Αν είναι να την πετύχεις, δε θα τη πετύχεις με πολλές τρυπούλες. Αλλά μπορείς να κάνεις ξέρω γω δύο ευθείες, ή μια καμπύλη και ευθείες, ή περίεργα σχήματα που αρχίζουν ως ευθείες, γίνονται καμπύλες, γίνονται πάλι ευθείες, και έχουν κοντά τους μια ευθεία
: )
Δημήτρη (Αζρ), αν εφάπτεται ρε συ στον κύκλο, φυσικά και μπορείς να κάνεις κάτι. Αν σκάψεις γύρω γύρω τον κύκλο πχ, την πιο απλή λύση, θα το πετύχεις. Σε ένα, μοναδικό σημείο μεν, αλλά θα το πετύχεις.
Τάλος, πες μας τη ~4.8 λύση σου!
Οι καλύτερες δικές μας είναι το U που λέει ο Άλεξ, με μήκος 5.14 (π+1+1), και ένα με μη συνεχόμενα σχήματα. Το δεύτερο δίνει 4.985, και βασικά είναι δύσκολο να το εξηγήσω, θα ανεβάσω μια φώτο, την οποία θα βάλω στο ποστ, κάτω από το fold (στα more).
Ok, η σχετική εικόνα εδώ. Το σχήμα είναι της πλάκας, αλλά θα βοηθήσει ίσως στην συζήτηση.
Έχουμε το ημικύκλιο με ποδαράκια που είπε ο Alex, αλλά δεν προεκτείνουμε τα ποδαράκια μέχρι μήκος ένα. Τα προεκτείνουμε μέχρι το σήμείο Α’ (και Β’) αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΑ’=ΒΒ’. Αν είναι μικρότερα από μήκος ένα όπως καταλαβαίνεται υπάρχουν ευθείες που θα “ξέφευγαν” από αυτό το σκάψιμο, για να κλείσουμε αυτήν την τρύπα “οικονομικότερα” χαράσσουμε από το μέσο του τμήματος Α’Β’, στο σημείο L, κάθετο σε αυτό (που βρίσκεται απί της ακτίνας ΟΚ - τετριμμένη απόδειξη) Από το L προεκτείνουμε την ευθεία μετά το K ως το σημείο Ν, που έχει την “ιδιότητα” να είναι το σημείο από το οποίο περνάει η εφαπτομένη στο σημείο του τόξου που περνάει και από το σημείο Α’. Κάθε άλλη εφαπτομένη σε σημείο μεταξύ Μκαι Κ θα είναι “καταδικασμένη” να περνά είτε από το τμήμα ΚΝ είτε από το ΑΑ’ (για όλα ισχύουν τα ίδια και για το ΒΒ’). Μπορώ να δείξω ότι το συνολικό μήκος ΑΑ’+ΒΒ’+LN ελαχιστοποιείται όταν η γωνία ΑΟΑ’ (και άρα και η ΒΟΒ’) είναι ίση με 30 μοίρες σε αυτην την περίπτωση το συνολικό μήκος είναι (1/sqr3)+(1/sqr3)+(1/sqr3)= sqr3 = 1.732. Συν π που είναι το ημικύκλιο =
4.87364346115868…
(Έχω απλοποιήσει και παραλείψει βήματα όπως π.χ. η ελαχιστοποίηση και η συνθήκη για να τέμνεται κάθε εφαπτομένη σε ΑΑ’, ΒΒ’ ή LN, αλλά παρά την νύστα μου φρονώ ότι είναι όλα σωστά… Ελπίζω δηλαδή… Παρεμπιπτόντως αυτό χαλαρά και με καφέ… Σε πίεση συνέντευξης ούτε την περίμετρο υποψιάζομαι ότι δεν θα σκεφτόμουν!)
ΥΓ… Ελπίζω το link που έβαλα στο σχήμα να απίζει γιαί αλλιώς δεν θα καταλάβατε τίποτα:!
ΥΓ2: Έχω την υποψία (απλή υποψία) ότι θα πρέπει να υπάρχει απάντηση και κάτω από ή στο 4.712 που είναι 3π/2…
Ωραίος! Φαίνεται να δουλεύει μια χαρά. Και ‘μένα μου φαινόταν intuitively πως το U θα ήταν καλύτερο από τη γραμμή και το >, αλλά του έλειπε η εξοικονόμηση της μοναδικής γραμμής. Είχα παίξει λίγο με κάτι σαν το δικό σου, αλλά δεν έκατσα να βγάλω αποστάσεις, πόσο μάλλον να κάνω minimization : ) Ωραίος.
Εγώ επιμένω ότι αν με ρωτάγανε αυτες τις μαλακίες σε συνέντευξη θα τους έλεγα ότι πάω στην ΕΥΔΑΠ και ρωτάω…
Πάντως μπράβο για την λύση ;)
Εγώ μετά από όλα αυτά ένα συμπέρασμα έβγαλα:
Από τότε πού αρίστευα στη Γεωμετρία έχουν περάσει πολλάααα χρόνια. Αλλά δε φταίτε εσείς, εγώ φταίω, που είδα αίνιγμα και μπήκα. :PPP (πάω να ξαναδιαβάσω τον Μικρό Πρίγκηπα)